Vereinsname

Hallo,

vielen Dank schon einmal im Voraus, an die die meine Frage lesen, und eventuell auch beantworten können.
Folgendes „Problem“:
Es gab eine Facebook-Gruppe mit dem Namen XXXX. Irgendwann überlegte sich der Admin der Gruppe (Frau A), es wäre doch toll einen gemeinnützigen Verein zu gründen. Gesagt getan, Verein gegründet, Vereinsname wurde der Name der Facebook-Gruppe. Facebook-Gruppe wurde dann das „e. V.“ angehängt. 1. Vorstand Frau A., 2. Vorstand Frau B und der Schatzmeister Herr C. Alles tutti. Bis sich das Ehepaar (Frau A und Herr C) trennten. Da fingen die Probleme an. 1. Vorstand Frau A möchte mit dem Verein nichts mehr zu tun haben, ist zurückgetreten, 2. Vorstand möchte auch nichts mehr mit dem Verein zu tun haben, ist zurück getreten . Ein neuer Vorstand wurde gewählt. Der Verein macht seine Arbeit weiter, nur gibt es nun Ärger wegen dem Vereinsnamen, da die Gruppe der Frau A ja nun genauso heißt wie der Verein.
Meine Frage ist nun, wem „gehört“ der Name. Kann der Verein verlangen das die Facebook-Gruppe sich umbenennt, oder muss der Verein einen neuen Namen finden (Beschluss vorbereiten, Versammlung, Satzung ändern, Amtsgereicht, Logo ändern usw.). Ich lehne mich da ein bisschen an den §57 BGB, der Unterscheidbarkeit. Aber wer „muss“? Danke für einen Rat von euch 🙂